Ndtyhij

Een regelmatig viervlak kan door middel van rotatie in 12 verschillende posities worden geplaatst. Deze worden hiernaast geïllustreerd hierboven in een cyclische graaf, samen met de 180° (blauwe pijlen) en de 120° (rode pijlen) rotaties, die de tetraëder door de twaalf posities permuteren. Deze 12 rotaties vormen de symmetrische rotatiegroep van het viervlak.

In de groepentheorie is de symmetriegroep van een object in een, twee of drie dimensies de groep van zijn symmetriën. Een symmetrie is een afbeelding die het object op zichzelf afbeeldt (invariant laat) en daarbij de afstanden behoudt (isometrie). De bewerking in de groep is (vanzelfsprekend) de samenstelling van afbeeldingen. Als object komen zeer algemeen niet alleen concrete objecten, zoals voorwerpen, gebouwen e.d. in aanmerking, maar ook wiskundige concepten als meetkundige figuren en patronen.

Zo bestaat bijvoorbeeld de symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek in het platte vlak uit de identiteit, de draaiingen om het zwaartepunt over 120° en 240°, en de spiegelingen om de hoogtelijnen.

De symmetriegroep is een isometriegroep, dus een subgroep van de euclidische groep E(n).{displaystyle E(n).}

Men kan zich een voorstelling maken van een symmetriegroep door de symmetrieën na te gaan van een concrete tweedimensionale figuur of een driedimensionaal object. Soms kan men hetzelfde object gebruiken voor het beschrijven van meerdere symmetrieën, door verschillende beschilderingen van het object te onderscheiden; de symmetriegroep van het beschilderde object is een subgroep van die van het blanco object.

Chiraliteit

Isometrieën kunnen worden onderscheiden in die zonder en die met verandering van oriëntatie. Verandering van oriëntatie vindt plaats:

• in 1D bij spiegeling in een punt


• in 2D bij spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling


• in 3D bij spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

Puntspiegeling in 2D valt hier niet onder.

Een symmetriegroep bevat óf alleen isometrieën zonder verandering van oriëntatie (zo'n symmetriegroep en figuren/objecten met zo'n symmetriegroep heten chiraal), of zowel met als zonder. In het laatste geval vormen de isometrieën zonder verandering van oriëntatie een subgroep: de chirale versie van de symmetriegroep, corresponderend met de chirale versie van de betreffende symmetrie.

Als de positie en stand van spiegels^[1] buiten beschouwing gelaten wordt zijn alle eindige chirale symmetriegroepen in 1D en 2D de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep, maar in 3D zijn alle eindige chirale symmetriegroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen, behalve bij octahedrale en icosahedrale symmetrie (zie onder). Ook zijn alle chirale strookpatroongroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen. Van de chirale behangpatroongroepen is alleen p6 de chirale versie van maar één achirale symmetriegroep.

In 3D is elke eindige chirale symmetriegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die Ci{displaystyle C_{i}} (zie onder) bevat, namelijk de directe som van die chirale symmetriegroep en Ci{displaystyle C_{i}}^[2][3].

In 3D is ook elke translatiegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die Ci{displaystyle C_{i}} bevat, die ook gevormd door toevoeging van de combinaties van een translatie en de inverse, alleen commuteren die niet. Iets dergelijks kan ook gelden bij andere chirale symmetriegroepen, maar dan met dien verstande dat het gaat om de inversie t.o.v. een geschikt punt, bijvoorbeeld op een rotatie-as.

Groepsstructuur

Soms heeft een symmetriegroep S{displaystyle S} twee subgroepen G{displaystyle G} en H{displaystyle H} met de volgende eigenschappen:

• 
  G{displaystyle G} en H{displaystyle H} hebben alleen de identieke functie gemeenschappelijk.


• Ieder element van s∈S{displaystyle sin S} kan geschreven worden als s=gh{displaystyle s=gh} met g∈G{displaystyle gin G} en h∈H{displaystyle hin H}.


• Voor alle g∈G{displaystyle gin G} en h∈H{displaystyle hin H} geldt gh=hg{displaystyle gh=hg}.

Ieder element s∈S{displaystyle sin S} kan dan op precies één manier geschreven worden als s=gh{displaystyle s=gh} met g∈G{displaystyle gin G} en h∈H{displaystyle hin H}. De groepsoperatie van S{displaystyle S} kan teruggebracht worden tot die binnen G{displaystyle G} en H{displaystyle H}: (g1h1)(g2h2)=(g1g2)(h1h2){displaystyle (g_{1}h_{1})(g_{2}h_{2})=(g_{1}g_{2})(h_{1}h_{2})}.

In 1D, 2D en 3D kan bijvoorbeeld H{displaystyle H} de groep zijn voortgebracht door inversie, en G{displaystyle G} een groep die de inversie niet bevat. In 3D is een ander voorbeeld: G{displaystyle G} bestaat uit rotaties om een as en eventueel spiegelingen om vlakken door die as, en H{displaystyle H} wordt voortgebracht door spiegeling in een vlak loodrecht op de as.

Een en ander kan de structuur van de symmetriegroep verduidelijken; hieronder wordt de notatie S=G⊕H{displaystyle S=Goplus H} gebruikt. Een gevolg van deze relatie (niet hetzelfde!) is dat de algebraïsche structuur van S{displaystyle S} het product is van die van G{displaystyle G} en die van H{displaystyle H}. Ter onderscheiding wordt daarbij het teken × gebruikt.

Zie ook directe som, direct product.

Gelijkstelling van symmetriegroepen

Bij de indeling van symmetriegroepen en wanneer het gaat om de symmetriegroep van een verplaatsbaar fysiek object (star lichaam) is het soms handig om de symmetriegroep van object A gelijk te stellen met die van object B, dat uit A ontstaat door een directe isometrie. De indeling wordt overzichtelijker, en eigenschappen die van de positie of stand van het fysieke object afhangen zijn eigenlijk geen eigenschappen van het object zelf. Bij de indeling hieronder wordt die gelijkstelling toegepast.

De precieze symmetriegroep van B wordt verkregen uit die van A door de directe isometrie d{displaystyle d} toe te passen op de eventuele spiegelvlakken en rotatieassen (wat in beide gevallen in het algemeen zowel de stand als de positie verandert), en translatierichtingen (dus alleen aanpassing van de richtingen). Verder geldt dat als s{displaystyle s} een symmetrie van A is, d−1sd{displaystyle d^{-1}sd} de bijbehorende symmetrie van B is.

Eindige symmetriegroepen

Een achirale symmetriegroep bevat evenveel chirale als achirale elementen.

Men kan een object dat qua vorm een bepaalde symmetrie heeft beschilderen (bijvoorbeeld in het geval van een veelvlak door de zijvlakken te kleuren of te nummeren) zodanig dat er geen symmetrie meer is. Elke stand van het object waarin het dezelfde ruimte inneemt als in de oorspronkelijke stand correspondeert met een element van de symmetriegroep van het onbeschilderde object; de standen zijn te onderscheiden door de beschildering (zie de afbeelding). De standen waarin men het object als fysiek object daadwerkelijk kan plaatsen zijn die waarbij men alleen hoeft te draaien; deze corresponderen met de elementen van de chirale versie van de symmetriegroep. Als het object qua vorm achirale symmetrie heeft, kan men de standen die corresponderen met de overige elementen van de symmetriegroep in een spiegel zien.

1D

De symmetriegroepen zijn de triviale groep (geen symmetrie) en de groep van orde 2 die bestaat uit de identieke afbeelding en een puntspiegeling. In de notatie van orthogonale groepen zijn dit SO(1) en O(1).

2D

Van een chirale figuur is de symmetriegroep de cyclische groep C_n van orde n, corresponderend met rotatiesymmetrie van orde n t.o.v. een punt (n = 1, 2, 3, ..). Het geval n = 1 geldt voor een figuur zonder symmetrie.

Van de overige figuren is de symmetriegroep de dihedrale groep D_n van orde 2n (n = 1, 2, 3, ..). Er zijn n spiegels, die hoeken maken van 180°/n. Als n oneven is, verkrijgt men deze uit één spiegel door steeds te draaien over de hoek corresponderend met de rotatiesymmetrie: 360°/n. Als n even is, krijgt men op deze wijze maar de helft van de spiegels, doordat men na n/2 draaiingen weer de oorspronkelijke spiegel krijgt. De overige spiegels zitten hier tussenin.

Voorbeelden van figuren met als symmetriegroep de dihedrale groep zijn de regelmatige veelhoeken. Voorbeelden van chirale figuren zijn die zonder symmetrie (n = 1) en die met een S-vorm (n = 2); voor n > 2 zijn ze iets minder eenvoudig en gebruikelijk, voorbeelden zijn de verkeersborden voor een rotonde, en het hakenkruis.

3D

De volgende soorten isometrie kunnen voorkomen in eindige symmetriegroepen:

• zonder verandering van oriëntatie (in de zin van "zonder spiegeling")
  
  
  
  • identieke afbeelding (zit er altijd in)
  
  
  • draaiing om een as over een hoek die een rationaal getal maal 360° is
  
  
  
  


• met verandering van oriëntatie:
  
  
  
  • 
    spiegeling in een vlak
  
  
  • draaiing om een as over een hoek die een rationaal getal maal 360° is en een spiegeling in een vlak loodrecht op die as
  
  
  
  

Er zijn 7 reeksen symmetriegroepen (met index n = 1, 2, 3, ..) en 7 aparte.

De symmetriegroepen in de zeven reeksen met n = 3, 4, 5, .. zijn de symmetriegroepen met één as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee, en wel van orde n. De zeven aparte hebben er meer, ze hebben alle zeven meerdere assen van rotatiesymmetrie van orde 3, in drie gevallen ook van orde 4, en in twee gevallen niet van orde 4 maar wel van orde 5. Verder zijn er enkele symmetriegroepen zonder rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee, ze vallen onder de zeven reeksen, met n = 1 en 2, maar het zijn er 10 in plaats van 14, want 8 zijn er twee aan twee hetzelfde. Meer mogelijkheden zijn er voor eindige symmetriegroepen niet, dus als er bijvoorbeeld een as van rotatiesymmetrie van orde 6 is dan is er geen andere as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee; verder bestaat er bijvoorbeeld geen eindige symmetriegroep met een as van rotatiesymmetrie van orde 4 en een andere van orde 5.

Als een polyhedron waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, dient als voorbeeld voor een achirale symmetrie(groep) dan kan men een voorbeeld van de chirale versie van de symmetriegroep construeren door voor een of meer van de van toepassing zijnde waarden van n elk zijvlak dat een regelmatige n-hoek is te voorzien van dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde n (alle chirale symmetrie blijft intact, alle achirale vervalt).

De zeven reeksen

Voorbeelden voor n = 6^[4]

De symmetriegroepen in de zeven reeksen zijn gerelateerd aan de zeven strookpatroongroepen, met rotatie in plaats van translatie. In dezelfde volgorde als de strookpatroongroepen zijn dit (met voorbeelden):

• Met chirale versie C_n:
  
  
  
  • C_n^[5] (orde n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; het draaiende deel van een windturbine / propeller / scheepsschroef / ventilator e.d. met n bladen heeft ook vaak deze symmetrie (geen extra symmetrie)
  
  
  • S_2n (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; voor oneven n geldt S_2n = C_n⊕{displaystyle oplus } C_i; de groep is cyclisch en wordt voortgebracht door een draaispiegeling
    
  
  
  • C_nh = C_n⊕{displaystyle oplus } C_s^[6] (orde 2n): een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; voor even n geldt ook C_nh = C_n⊕{displaystyle oplus } C_i
    
  
  
  • C_nv (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatige piramide (orde als voor de figuur / het grondvlak; er is geen extra symmetrie)
  
  
  
  


• Met chirale versie D_n^[7]:
  
  
  
  • D_n (orde 2n): een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde n
  
  
  • D_nd (orde 4n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; een regelmatig antiprisma; voor oneven n geldt D_nd = D_n⊕{displaystyle oplus } C_i
    
  
  
  • D_nh = C_nv⊕{displaystyle oplus } C_s (orde 4n): een ronde plaat met door en door een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatig prisma; een regelmatige bipiramide; voor even n geldt ook D_nh = D_n⊕{displaystyle oplus } C_i
    
  
  
  
  

Van alle Johnson-lichamen is de symmetriegroep in deze categorieën met n = 1, 2, 3, 4, 5.

De symmetriegroepen zonder rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee

Voor n = 1 en 2 geeft het bovenstaande 14 gevallen waarvan er 8 twee aan twee gelijk zijn, dus 10 verschillende, als volgt. Bij twee gelijke is per notatie een voorbeeld gegeven dat overeenkomt met het boven gegeven voorbeeld.

Met chirale versie C₁:

• C₁ (orde 1) een ronde plaat met op één zijde een asymmetrische figuur (chiraal)


• C_i (= S₂) (orde 2): een ronde plaat met op één zijde een asymmetrische figuur en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 180° gedraaid (puntsymmetrie, de groep voortgebracht door puntspiegeling)


• C_s (= C_1h = C_1v) (orde 2), spiegelsymmetrie, twee dezelfde:
  
  
  
  • C_1h: een ronde plaat met door en door een asymmetrische figuur
  
  
  • C_1v: een ronde plaat met op één zijde een figuur met spiegelsymmetrie
  
  
  
  

Met chirale versie C₂:

• C₂ (= D₁) (orde 2): rotatiesymmetrie van orde 2, twee dezelfde:
  
  
  
  • C₂: een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2
  
  
  • D₁: een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur
  
  
  
  


• S₄ (orde 4): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2 en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 90° gedraaid^[8]
  


• C_2v/D_1h (orde 4): twee loodrechte spiegels, wat impliceert dat de snijlijn een rotatie-as van orde 2 is, twee dezelfde:
  
  
  
  • C_2v: een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 4
  
  
  • D_1h: een ronde plaat met door en door een figuur met spiegelsymmetrie
  
  
  
  


• C_2h = C₂⊕{displaystyle oplus } C_i (= D_1d) (orde 4): een rotatie-as van orde 2 loodrecht op een spiegel, twee dezelfde:
  
  
  
  • C_2h: een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2
  
  
  • D_1d: een ronde plaat met op één zijde een figuur met spiegelsymmetrie en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan 180° gedraaid
  
  
  
  

Met chirale versie D₂:

• D₂ = C₂⊕{displaystyle oplus } C₂ (orde 4): een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde 2 (chiraal)


• D_2d (orde 8): een ronde plaat met op één zijde een rechthoek en op de andere zijde dezelfde rechthoek maar dan 90° gedraaid


• D_2h = C_s⊕{displaystyle oplus } C_s⊕{displaystyle oplus } C_s = D₂⊕{displaystyle oplus } C_i (orde 8): een rechthoekige plaat
  

Polyhedrale symmetrie

Er zijn zeven symmetriegroepen met meer dan één as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee. Deze corresponderen met symmetrieën die soms gezamenlijk worden aangeduid als polyhedrale symmetrie.

Van de drie symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 zonder assen van hogere orde corresponderen er twee met tetrahedrale symmetrie (achirale versie T_d en chirale versie T). De orde is 24, resp. 12. T_d is de symmetrie van het viervlak en een archimedisch lichaam, de afgeknotte tetraëder. T_d is algebraïsch de symmetrische groep S₄, want de elementen van T_d komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de 4 hoekpunten. T is algebraïsch de alternerende groep A₄, want de elementen van T komen 1-op-1 overeen met de even permutaties van de 4 hoekpunten. De derde, T_h, is pyritohedrale symmetrie, dit is de symmetrie van een kubus met op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken. De orde is 24. T_h = T ⊕{displaystyle oplus } C_i en dus algebraïsch A₄ × C₂. De groep T is niet alleen de chirale versie van T_d maar ook van T_h.

De twee symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 en assen van orde 4 corresponderen met octahedrale symmetrie (achirale versie O_h en chirale versie O). De orde is 48, resp. 24. O_h is de symmetrie van de kubus, de octaëder en vijf archimedische lichamen. Twee archimedische lichamen, namelijk de beide versies van de stompe kubus, zijn chiraal met O als totale symmetriegroep. O is algebraïsch de symmetrische groep S₄, waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus, .^[9] O_h = O ⊕{displaystyle oplus } C_i en dus algebraïsch S₄ × C₂. Naast O zijn ook T_d en T_h (en dus T) subgroepen van O_h. De groep T is een subgroep van O. De groepen O_h, O, T_d, T_h en T zijn de symmetriegroepen van de kubus met:

• voor O_h blanco zijden


• voor O op elk zijvlak dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde 4


• voor T_d op elk zijvlak een diagonaal zo dat die samen een tetraëder vormen


• voor T_h op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken


• voor T zowel het bij T_d als T_h genoemde

De twee symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 en assen van orde 5 corresponderen met icosahedrale symmetrie (achirale versie I_h en chirale versie I). De orde is 120, resp. 60. I_h is de symmetrie van de dodecaëder, icosaëder, vijf archimedische lichamen waaronder de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder, en alle vier de kepler-poinsot-lichamen. Twee archimedische lichamen, namelijk de beide versies van de stompe dodecaëder, zijn chiraal met I als totale symmetriegroep. I is algebraïsch A₅ (de even permutaties van 5 elementen). De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk (op twee manieren) worden verdeeld over 5 groepen van 4 die elk de hoekpunten vormen van een tetraëder. De elementen van I corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. I_h = I ⊕{displaystyle oplus } C_i en dus algebraïsch A₅ × C₂.

Eigenschappen en aantallen

Voor k een viervoud plus 0, 1, 2, 3 is het aantal symmetriegroepen van orde k, zoals uit het bovenstaande volgt, resp. 7, 1, 5, 1, met als uitzonderingen voor k = 2, 4, 12, 24, 48, 60. 120 resp. 3, 5, 8, 10, 8, 8, 8 (waarvan chiraal resp. 2, 1, 2, 1 en 1, 2, 3, 3, 2, 3, 2).

Cyclisch (en dus abels) zijn C_n, S_2n, en C_nh voor oneven n. Ook abels zijn C_nh voor even n (C_n⊕{displaystyle oplus } C_s), D₂ (C₂⊕{displaystyle oplus } C₂), C_2v/D_1h (C_s⊕{displaystyle oplus } C_s) en D_2h (C_s⊕{displaystyle oplus } C_s⊕{displaystyle oplus } C_s).

Voor k een viervoud plus 0, 1, 2, 3 is het aantal cyclische symmetriegroepen van orde k dus resp. 2, 1, 3, 1 en het aantal abelse symmetriegroepen van orde k resp. 3, 1, 3, 1, met als uitzonderingen voor k = 4, 8 resp. 5, 4.

Anders gerangschikt:

• Voor oneven k is er één symmetriegroep; deze is cyclisch, dus abels, en chiraal.


• Voor k een viervoud plus 2 zijn er vijf symmetriegroepen (drie voor k = 2):
  
  
  
  • één is cyclisch en chiraal
  
  
  • twee zijn cyclisch en achiraal
  
  
  • één is niet-abels en chiraal (niet voor k = 2)
  
  
  • één is niet-abels en achiraal (niet voor k = 2)
  
  
  
  


• Voor k een viervoud zijn er zeven symmetriegroepen (vijf voor k = 4, acht voor k = 12, 48, 60, 120, tien voor k = 24):
  
  
  
  • één is cyclisch en chiraal
  
  
  • één is cyclisch en achiraal
  
  
  • één is niet-abels en chiraal (voor k = 12, 24, 60 twee; voor k = 4 is de groep niet-cyclisch maar wel abels)
  
  
  • één is niet-cyclisch maar wel abels, en achiraal (twee voor k = 4, 8)
  
  
  • drie zijn niet-abels en achiraal (niet voor k = 4, twee voor k = 8, vier voor k = 48, 120, vijf voor k = 24)
  
  
  
  

De kleinste abstracte groepen die voor geen enkele symmetriegroep van toepassing is zijn zijn C₃ × C₃ en de dicyclische groepen Dic₂ (quaternionengroep) en Dic₃.

Er zijn twee symmetriegroepen met een even aantal elementen zonder ondergroep met de helft van het aantal elementen: T en I.

Zie ook de lijst van kleine groepen.

Oneindige symmetriegroepen

Een symmetriegroep heeft oneindig veel elementen o.m. als er translaties bij zijn, zie ook strookpatroongroep en behangpatroongroep. Een ander voorbeeld in 2D is de symmetriegroep corresponderend met cirkelsymmetrie, de orthogonale groep O(2).

Tussenvormen tussen discrete en continue symmetrie

Als het gaat om visuele symmetrie kunnen bepaalde tussenvormen tussen discrete en continue symmetrie buiten beschouwing worden gelaten, zoals met een symmetriegroep die in een bepaalde richting willekeurig kleine, maar niet alle translaties bevat, of ten opzichte van een bepaald punt willekeurig kleine, maar niet alle rotaties. Voor een symmetriegroep G{displaystyle G} kan men daarbij formeel het criterium hanteren of voor elk punt x{displaystyle x} de verzameling {g⋅x∣g∈G}{displaystyle {gcdot xmid gin G}} een gesloten verzameling is. Bij de "tussenvormen" is dat niet het geval. Als deze buiten beschouwing worden gelaten worden overzichten van alle symmetriegroepen voor een bepaalde ruimte eenvoudiger.

Een voorbeeld van een "tussenvorm" voor de eendimensionale ruimte R{displaystyle mathbb {R} } is de translatiegroep voortgebracht door translaties met afstand 1 en √2. De verzameling translatie-afstanden is aftelbaar, maar ligt dicht in R{displaystyle mathbb {R} }. Deze verzameling is dus niet gesloten. Deze translatiegroep is bijvoorbeeld de symmetriegroep van {m+n2+p3∣m,n∈Z,p∈{0,1,3}}{displaystyle {m+n{sqrt {2}}+p{sqrt {3}}mid m,nin mathbb {Z} ,pin {0,1,3}}}.

De symmetriegroepen in 1D en 2D, uitgezonderd de tussenvormen

Als de tussenvormen buiten beschouwing worden gelaten blijven voor de eendimensionale ruimte R{displaystyle mathbb {R} } de volgende symmetriegroepen over:

• de triviale groep
  


• de groep isomorf met de cyclische groep Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }
  


• de groepen isomorf met Z{displaystyle mathbb {Z} } (een voor elke positieve translatie-afstand)


• de groepen isomorf met de symmetriegroep van Z{displaystyle mathbb {Z} } (oneindige dihedrale groep), met als parameter de positieve translatie-afstand (de spiegelpunten hebben een onderlinge afstand van de halve translatie-afstand)


• de isometriegroep van R{displaystyle mathbb {R} }
  

De groep van alle translaties is van geen enkel object de symmetriegroep.

Voor het vlak R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} blijven de volgende symmetriegroepen over (zie ook boven):

• de triviale groep


• de groepen isomorf met de cyclische groep Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }, met als parameter n=2,3,…{displaystyle n=2,3,ldots } (rotatiesymmetrie van orde n).


• de groepen isomorf met de dihedrale groep van orde 2n{displaystyle 2n}, met als parameter n=2,3,…{displaystyle n=2,3,ldots } (de spiegels gaan door het draaipunt en maken een onderlinge hoek van 180 graden gedeeld door n{displaystyle n})


• de groep van alle rotaties om een punt en alle spiegelingen met een spiegel door dat punt (het is de symmetriegroep van cirkelsymmetrie ten opzichte van dat punt)


• de groepen van het type strookpatroongroep, met per strookpatroongroep als parameter de translatieafstand


• de groepen van het type behangpatroongroep, met afhankelijk van de behangpatroongroep nog een of meer parameters


• de groepen die de directe som zijn van de symmetriegroep van R{displaystyle mathbb {R} } (voor één richting) en een van de bovengenoemde symmetriegroepen voor R{displaystyle mathbb {R} } (voor de richting loodrecht daarop)

Onder meer de groep van alle rotaties om een punt is van geen enkel object de symmetriegroep.

Objecten met minder dimensies dan de euclidische ruimte

De symmetriegroep van een object dat zich uitstrekt over een verzameling van twee of meer punten op een rechte lijn hangt volgens bovenstaande definitie ervan af of het een object in bijvoorbeeld de een-, twee- of driedimensionale euclidische ruimte is. Vergeleken met de symmetrie van het object als object in de eendimensionale euclidische ruimte komt er als object in de tweedimensionale euclidische ruimte spiegelsymmetrie in de betreffende lijn bij, en als object in de driedimensionale euclidische ruimte meer spiegelsymmetrie en ook rotatiesymmetrie met de betreffende lijn als as. De symmetriegroep van het object op zich is de symmetriegroep van dit object in de verzameling waarover dit object zich uitstrekt, met de geïnduceerde metriek. Deze symmetriegroep komt in het voorbeeld in essentie overeen met die van het object in de eendimensionale euclidische ruimte (niet alleen algebraïsch isomorf, maar ook qua meetkundige aspecten).

In plaats van rechtstreeks kan de symmetriegroep van een object in een euclidische ruimte ook worden gedefinieerd uitgaande van de genoemde definitie van de symmetriegroep van een object op zich, en wel door het geheel van het object en de rest van de ruimte als nieuw object te beschouwen (zoals bij een afbeelding een egale achtergrond wel of niet tot de afbeelding gerekend kan worden).

Scheikunde

Zie Moleculaire symmetrie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de scheikunde is de symmetriegroep van een molecuul of van een rooster van belang; als deze alleen directe isometrieën bevat heet het molecuul of rooster chiraal. In een chiraal molecuul of rooster komen dus geen spiegelingen voor die het molecuul of rooster hetzelfde laten.

Zie ook

• Puntgroep