Ndtyhij

In de wiskunde is een isometrie of isometrische afbeelding een functie die twee metrische ruimten op elkaar afbeeldt en die daarbij de afstanden bewaart. Bij een isometrie wordt een figuur steeds afgebeeld op een congruente figuur.

De samenstelling van twee (of meer) isometrieën is weer een isometrie.

Definitie

Zij (M1,d1){displaystyle (M_{1},d_{1})} en (M2,d2){displaystyle (M_{2},d_{2})} twee gegeven metrische ruimten en f:M1→M2{displaystyle f:M_{1}rightarrow M_{2}} een afbeelding met de eigenschap:

d2(f(x),f(y))=d1(x,y){displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)},

dan noemt men f{displaystyle f} een isometrie van M1{displaystyle M_{1}} naar M2{displaystyle M_{2}}

Een isometrie is altijd injectief. Als f{displaystyle f} bijectief is, noemt men f{displaystyle f} een isometrisch isomorfisme en noemt men de metrische ruimten M1{displaystyle M_{1}} en M2{displaystyle M_{2}} isometrisch isomorf.

In andere gevallen noemt men f{displaystyle f} een isometrische inbedding van M1{displaystyle M_{1}} in M2{displaystyle M_{2}}.

Euclidische isometrie

Een euclidische isometrie is een isometrie in de n-dimensionale euclidische ruimte. Ze zijn van de vorm Ax + b met A een orthogonale matrix en vormen de euclidische groep E(n).

Een directe isometrie is een euclidische isometrie die de oriëntatie niet verandert, ze vormen de speciale euclidische groep SE(n). Bij een directe isometrie is de determinant van A gelijk aan 1, bij een indirecte -1. Bij een directe isometrie is een geleidelijke overgang via tussenliggende isometrieën mogelijk van de identiteit naar die isometrie.

Indirect zijn:

• in 1D: spiegeling in een punt


• in 2D: spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling
  


• in 3D: spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

Isometrieën in het euclidische vlak

SE(2) is de verzameling directe isometrieën in het euclidische vlak. Elk element is van een van de volgende types:

• rotatie


• translatie

Een combinatie van een niet-triviale rotatie en een translatie is altijd een pure rotatie over dezelfde hoek, met een ander draaipunt. De identieke afbeelding zou hierboven kunnen worden toegevoegd, maar men zou ook kunnen redeneren dat dat niet nodig is omdat deze kan worden beschouwd als een rotatie over 0 graden of een translatie over de nulvector.

De rest van E(2) bestaat uit de indirecte isometrieën: de glijspiegeling, dit is spiegeling t.o.v. een lijn met een translatie evenwijdig aan die lijn (met als speciaal geval een pure spiegeling).

Indeling naar de verzameling dekpunten:

• het hele vlak: identieke afbeelding


• een lijn: pure spiegeling


• een punt: echte rotatie


• leeg:
  
  
  
  • echte translatie
  
  
  • echte glijspiegeling
  
  
  
  

Hier moeten bijzondere gevallen in ieder geval wel apart behandeld worden, en wordt "echt" toegevoegd bij de overige.

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:

• 0: identieke afbeelding


• 2:
  
  
  
  • translatie
  
  
  • pure spiegeling
  
  
  
  


• 3:
  
  
  
  • rotatie
  
  
  • glijspiegeling
  
  
  
  

Isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte

De isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte zijn:

• SE(3), directe isometrieën, mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam: schroefdraaiing, d.w.z. rotatie met translatie langs de as (met als speciale gevallen geen rotatie en/of geen translatie)


• de rest van E(3), indirecte isometrieën: spiegeling met rotatie om een as loodrecht op de spiegel of een translatie met een translatievector evenwijdig aan de spiegel (met als speciaal geval een pure spiegeling)

Indeling naar de verzameling dekpunten:

• de hele ruimte: identieke afbeelding
  


• een vlak: pure spiegeling


• een lijn: echte rotatie


• een punt: echte draaispiegeling


• leeg:
  
  
  
  • echte translatie en echte schroefdraaiing
  
  
  • echte glijspiegeling
  
  
  
  

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:

• 0: identieke afbeelding


• 3:
  
  
  
  • translatie
  
  
  • pure spiegeling
  
  
  
  


• 5:
  
  
  
  • rotatie
  
  
  • glijspiegeling
  
  
  
  


• 6:
  
  
  
  • schroefdraaiing
  
  
  • draaispiegeling
  
  
  
  

De puntspiegeling (inversie) is een speciale draaispiegeling, met 3 vrijheidsgraden.

Zie ook

• Isometriegroep

Literatuur

• 
  S. Bosch, Lineare Algebra, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00121-2