Ndtyhij

Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte, en daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn echter generalisaties van onze gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun drie coördinaten $x,y$ en $z$ . Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het punt $(x,y,z)$ , waren de eerste die vector genoemd werden, een term ingevoerd door William Rowan Hamilton in 1837. Zo'n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft, zoals verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, en dergelijke. Alleen de nulvector heeft geen richting.

Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.

Inhoud

1 Voorstelling van een vector

2 Vectoren in de gewone driedimensionale ruimte
- 2.1 Gelijkheid
- 2.2 Optellen van vectoren
- 2.3 Verschil van vectoren
- 2.4 Vermenigvuldiging van een vector met een scalair
- 2.5 Norm van een vector
- 2.6 Inwendig product
- 2.7 Kruisproduct
- 2.8 Eenheidsvector
- 2.9 Nulvector
- 2.10 Vectoren in de natuurkunde

3 Vectorruimten in het algemeen

4 Zie ook

Voorstelling van een vector

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld ${displaystyle mathbf {a} }$ of als letter met een pijltje erboven, zoals $vec{a}$ . Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector ( ${displaystyle |mathbf {a} |}$ of $|{vec {a}}|$ ) dan aangegeven door een gewone $a$ .

Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt. Bij vrije vectoren plaatst men het beginpunt veelal in de oorsprong.

De vector ${displaystyle mathbf {a} }$ wordt dan ook geschreven als $overrightarrow {PQ}$ . Als de vector ${displaystyle mathbf {a} }$ op de tekening een gebonden vector is, is $P$ het aangrijpingspunt van ${displaystyle mathbf {a} }$ .
De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen.
Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen.
Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren ${displaystyle mathbf {a} }$ en ${displaystyle mathbf {b} }$ op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Hieronder gaat het verder over vrije vectoren.

Vectoren in de gewone driedimensionale ruimte

Een vector in de gewone driedimensionale ruimte (de driedimensionale euclidische ruimte, de klassieke natuurkundige ruimte) kan, na een keuze van een basis, gerepresenteerd worden door ${displaystyle 3}$ componenten. Laat de vectoren ${displaystyle mathbf {u} _{1}}$ , ${displaystyle mathbf {u} _{2}}$ en ${displaystyle mathbf {u} _{3}}$ een basis van de ruimte vormen. Dan kan (per definitie van basis) elke vector ${displaystyle mathbf {a} }$ geschreven worden als een lineaire combinatie van ${displaystyle mathbf {u} _{1}}$ , ${displaystyle mathbf {u} _{2}}$ en ${displaystyle mathbf {u} _{3}}$ . Dit wil zeggen dat er getallen $a_1$ , $a_2$ en $a_3$ zijn zodat ${displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {u} _{1}+a_{2}mathbf {u} _{2}+a_{3}mathbf {u} _{3}}$ .^[1] De vectoren ${displaystyle a_{1}mathbf {u} _{1}}$ , ${displaystyle a_{2}mathbf {u} _{2}}$ en ${displaystyle a_{3}mathbf {u} _{3}}$ heten de componenten van de vector ${displaystyle mathbf {a} }$ . De getallen $a_1$ , $a_2$ en $a_3$ noemt men de coördinaten of kentallen van ${displaystyle mathbf {a} }$ ten opzichte van de basis ${displaystyle (mathbf {u} _{1},mathbf {u} _{2},mathbf {u} _{3})}$ . De volgorde van $a_1$ , $a_2$ en $a_3$ is belangrijk. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet.

Twee vectoren zijn gelijk dan en slechts dan als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de ${displaystyle mathbf {a} }$ van hiervoor), als rij:

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}

of als kolom:

{displaystyle mathbf {a} ={begin{pmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{pmatrix}}}

Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.

In de reële driedimensionale coördinatenruimte $mathbb{R} ^{3}$ is de standaardbasis ${displaystyle (mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3})}$ met de basisvectoren ${displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$ Meetkundig worden ze weergegeven door onderling loodrechte vectoren van eenheidslengte. Men kan hierin lengtes en hoeken definiëren (zie onder) die overeenkomen met de meetkundige begrippen, met als resultaat een driedimensionale euclidische ruimte. Omgekeerd kan men uitgaand van een driedimensionale euclidische ruimte, met gegeven begrippen "lengte" en "loodrecht", drie onderling loodrechte vectoren ${displaystyle {mathbf {e} }_{1}}$ , ${displaystyle {mathbf {e} }_{2}}$ en ${displaystyle {mathbf {e} }_{3}}$ van eenheidslengte als basisvectoren kiezen, zodat een vector beschreven kan worden met zijn drie coördinaten.

In beide gevallen is het resultaat een cartesisch coördinatenstelsel met de basisvectoren ${displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3}=(0,0,1),}$ waarin een vector ${displaystyle mathbf {a} }$ wordt geschreven als ${{mathbf a}}=a_{1}{{mathbf e}}_{1}+a_{2}{{mathbf e}}_{2}+a_{3}{{mathbf e}}_{3}$ . In de onderstaande deelparagrafen wordt hiervan gebruikgemaakt.

De richting van ${displaystyle mathbf {e} _{1}}$ noemt men de x-as, van ${displaystyle mathbf {e} _{2}}$ de y-as en van ${displaystyle mathbf {e} _{3}}$ de z-as. Men noemt de standaardbasis ook wel ${displaystyle (mathbf {e} _{x},mathbf {e} _{y},mathbf {e} _{z}).}$ Soms wordt ook de notatie ${displaystyle (mathbf {i} ,mathbf {j} ,mathbf {k} )}$ gebruikt: ${displaystyle mathbf {i} }$ wijst volgens de x-as, ${displaystyle mathbf {j} }$ volgens de y-as en ${displaystyle mathbf {k} }$ volgens de z-as; alle drie hebben ze de lengte 1.

Gelijkheid

Van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben.^[2]

Equivalent is: van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde coördinaten hebben. Twee vectoren

{{mathbf a}}=a_{1}{{mathbf e}}_{1}+a_{2}{{mathbf e}}_{2}+a_{3}{{mathbf e}}_{3}

en

{{mathbf b}}=b_{1}{{mathbf e}}_{1}+b_{2}{{mathbf e}}_{2}+b_{3}{{mathbf e}}_{3}

zijn dus gelijk dan en slechts dan als

{displaystyle a_{1}=b_{1},quad a_{2}=b_{2},quad a_{3}=b_{3}}

.

Optellen van vectoren

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening in een vlak waar beide inliggen, de zogenoemde parallellogramregel:

Om ${vec {a}}+{vec {b}}$ te construeren, tekent men $vec{a}$ en ${vec {b}}$ zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in hetzelfde punt waar $vec{a}$ en ${vec {b}}$ beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van ${vec {a}}+{vec {b}}$ .

Som van meerdere vectoren^[3]

Er bestaat ook een andere manier om ${vec {a}}+{vec {b}}$ te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat $vec{a}$ voorstelt, gaat van P naar Q, teken je ${vec {b}}$ zo dat het pijltje dat ${vec {b}}$ voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat ${vec {b}}$ voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector ${vec {a}}+{vec {b}}$ . De volgende afbeelding illustreert dit:

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

overrightarrow {PQ}+overrightarrow {QR}=overrightarrow {PR}

Deze manier is ook toepasbaar bij meerdere vectoren.

De verschilvector van de vectoren a en b

Verschil van vectoren

Het verschil ${displaystyle mathbf {a} -mathbf {b} }$ van de vectoren ${displaystyle mathbf {a} }$ en ${displaystyle mathbf {b} }$ is gedefinieerd als ${displaystyle mathbf {a} +(-mathbf {b} )}$ , waarin ${displaystyle -mathbf {b} }$ de tegengestelde vector van ${displaystyle mathbf {b} }$ is, dat wil zeggen de vector met dezelfde grootte als ${displaystyle mathbf {b} }$ , maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Vermenigvuldiging van een vector met een scalair

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalaire product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vectoren aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalair": de kentallen van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector ${displaystyle mathbf {a} }$ vermenigvuldigt met een scalair $k$ , krijgt men een nieuwe vector ${displaystyle kmathbf {a} }$ . De grootte van ${displaystyle kmathbf {a} }$ is ${displaystyle |k||mathbf {a} |}$ en de richting is gelijk aan die van ${displaystyle mathbf {a} }$ als ${displaystyle k>0}$ , en wordt omgekeerd als ${displaystyle k<0}$ . De volgende afbeelding illustreert de begrippen:

Hierbij is ${displaystyle -mathbf {a} }$ gelijk aan ${displaystyle (-1)cdot mathbf {a} }$ . Als ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ten opzichte van een bepaalde basis, zal, ten opzichte van diezelfde basis, ${displaystyle kmathbf {a} =(ka_{1},ka_{2},ka_{3})}$ .

Norm van een vector

De lengte, grootte of norm van de vector ${displaystyle mathbf {a} }$ wordt aangeduid door ${displaystyle |mathbf {a} |}$ of, minder gebruikelijk, met ${displaystyle |mathbf {a} |}$ . De norm van een vector dient niet te worden verward met de absolute waarde (een scalaire "norm").

Deze correspondeert met het gewone afstandsbegrip, de euclidische afstand, het afstandsbegrip bepaald door het inproduct van vectoren (zie onder). De norm van de vector ${displaystyle mathbf {a} }$ kan worden berekend met:

{displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a} }}}

wat een gevolg is van de stelling van Pythagoras aangezien de basisvectoren
${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$ orthogonale eenheidsvectoren zijn.

Inwendig product

Zie inwendig product voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het inwendig product (ook wel inproduct, scalair product of dot product genoemd) van twee vectoren ${displaystyle mathbf {a} }$ en ${displaystyle mathbf {b} }$ zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos {theta }}

,

waarin $theta$ de hoek tussen ${displaystyle mathbf {a} }$ en ${displaystyle mathbf {b} }$ is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}

,

waarin ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ en ${displaystyle mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ .

De hoek $theta$ tussen de vectoren ${displaystyle mathbf {a} }$ en ${displaystyle mathbf {b} }$ is dan:

{displaystyle theta =arccos left({frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}}right)}

.

Als minstens een van beide vectoren de nulvector is, is het inwendig product nul en de hoek onbepaald.

Kruisproduct

Zie kruisproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor twee vectoren $vec{a}$ en ${vec {b}}$ in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het kruisproduct (ook wel vectorproduct, uitproduct, uitwendig product of vectorieel product genoemd)

{vec {a}}times {vec {b}}

.

Het kruisproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een grootte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren, en de richting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van $vec{a}$ en ${vec {b}}$ luidt het kruisproduct:

{vec {a}}times {vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})

.

Merk op dat het kruisproduct niet commutatief is, maar anticommutatief:

{vec {b}}times {vec {a}}=-({vec {a}}times {vec {b}})

.

Eenheidsvector

De normalisering van een vector

{displaystyle mathbf {a} }

in een eenheidsvector

{displaystyle mathbf {hat {a}} }

Zie eenheidsvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een eenheidsvector is een vector met een norm gelijk aan 1. Eenheidsvectoren worden vooral gebruikt om een richting aan te geven. Een vector met willekeurige norm ongelijk aan 0 kan worden gedeeld door zijn norm om zo een eenheidsvector te creëren. Dit proces staat bekend als het normaliseren van een vector. Een eenheidsvector wordt wel aangeduid met een dakje, zoals in ${displaystyle mathbf {hat {a}} }$ of ook door ${displaystyle {vec {e_{a}}}}$ .

Om een vector ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ te normaliseren deelt men de vector door zijn lengte ${displaystyle |mathbf {a} |}$ :

{displaystyle mathbf {hat {a}} ={frac {1}{|mathbf {a} |}}mathbf {a} =left({frac {a_{1}}{|mathbf {a} |}},{frac {a_{2}}{|mathbf {a} |}},{frac {a_{3}}{|mathbf {a} |}}right)}

Nulvector

Zie nulvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De nulvector is de vector met lengte nul. In de driedimensionale euclidische ruimte is het de vector met alle coördinaten gelijk aan 0, dus de vector (0,0,0). De nulvector wordt algemeen aangeduid met ${vec {0}}$ , met 0, of ook gewoon met 0. In tegenstelling tot enige andere vector, heeft de nulvector geen richting en kan niet worden genormaliseerd (dat wil zeggen dat er geen eenheidsvector is, die een veelvoud is van de nulvector). De som van de nulvector en enige vector ${displaystyle mathbf {a} }$ is ${displaystyle mathbf {a} }$ zelf, dat wil zeggen dat ${displaystyle mathbf {0} +mathbf {a} =mathbf {a} }$ .

Vectoren in de natuurkunde

In de natuurkunde wordt onderscheid gemaakt tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume, temperatuur, traagheidsmoment, elektrische potentiaal, zwaartekrachtspotentiaal.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

translatievector, verplaatsingsvector

snelheid

versnelling

kracht

impuls

stoot

impulsmoment

krachtmoment

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende richting kan hebben. Voorbeelden zijn:

plaatsvector

zwaartekrachtveld

magneetveld

elektrisch veld

elektrische stroomdichtheid

Bij de meeste vectoren in de natuurkunde is de grootte (norm, zie boven) niet een getal, maar uit te drukken als een getal met een eenheid.

Vectorruimten in het algemeen

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte.

Boven is het geval van de driedimensionale euclidische ruimte behandeld. De tweedimensionale euclidische ruimte gaat analoog, behalve dat er geen kruisproduct is.

Bij een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen hebben vectoren geen grootte en richting. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken.

Zie ook

Rijvector

Kolomvector

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Hier wordt gebruikgemaakt van scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren, die verderop wordt behandeld.

↑ De nulvector heeft geen richting. Deze is uiteraard gelijk aan zichzelf en ongelijk aan vectoren met een richting.

↑ De vectoren hoeven niet in één vlak te liggen. De vectoren zijn hier geprojecteerd op het vlak van de tekening.

Zie de categorie Vector mathematics van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

[1] Hier wordt gebruikgemaakt van scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren, die verderop wordt behandeld.

[2] De nulvector heeft geen richting. Deze is uiteraard gelijk aan zichzelf en ongelijk aan vectoren met een richting.

[3] De vectoren hoeven niet in één vlak te liggen. De vectoren zijn hier geprojecteerd op het vlak van de tekening.

搜尋此網誌