Ndtyhij

"Assenstelsel" verwijst hierheen. Zie Assenstelsel (kristallografie) voor de term uit de kristallografie.

Illustratie van een cartesisch coördinaten-stelsel. Vier punten worden gemarkeerd en geëtiketteerd met hun coördinaten. (2,3) in het groen, (-3,1) in het rood, (-1.5, -2.5) in het blauw en de oorsprong (0,0) in het paars.

Een cartesiaans coördinatenstelsel of cartesisch coördinatenstelsel is een orthogonaal coördinatenstelsel waarbij de afstand tussen twee coördinaatlijnen constant is. Voor elke dimensie is er een as en de assen staan onderling loodrecht op elkaar. Alle punten in dit stelsel, die gegeven worden door hun coördinaten ten opzichte van de assen, vormen samen het cartesisch vlak.

Het is het meest gebruikte coördinatenstelsel, omdat in dit stelsel meetkundige zaken het beste beschreven kunnen worden.

Geschiedenis

Het cartesisch coördinatenstelsel is genoemd naar zijn bedenker de Franse wiskundige en filosoof René Descartes; zijn Latijnse naam was Cartesius.

Descartes ontwikkelde het idee voor dit systeem in 1637 in de volgende publicaties:

• 
  Discours de la méthode
  
  • In het tweede deel introduceert hij het nieuwe idee om de positie van een punt of object op een vlak aan te duiden door gebruik te maken van twee snijdende assen als meetlijn.
  
  


• 
  La Géométrie,
  
  • hierin werkt hij dat idee verder uit.
  
  

Definitie

Getallenlijn

Zie Reële lijn voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het kiezen van een cartesisch coördinatenstelsel voor een eendimensionale ruimte - dat wil zeggen voor een rechte lijn - betekent het kiezen van een punt O, de oorsprong (op die lijn), een eenheid van lengte en een oriëntatie voor de lijn. Dit laatste betekent het kiezen van welke van de twee halve lijnen die door O worden bepaald de positieve en welke de negatieve is; wij zeggen dan dat de lijn georiënteerd is (of zich richt) van de negatieve helft naar de positieve helft. Dan kan elk punt p van de lijn worden gespecificeerd door de afstand tot O, genomen met een + of - teken, afhankelijk van welke halve lijn p bevat.

Een regel met een gekozen Cartesiaans systeem noemt men de getallenlijn. Elk reëel getal, of het nu een geheel getal, rationaal getal of irrationaal getal is, heeft een unieke locatie op de lijn. Omgekeerd kan elk punt op de lijn worden geïnterpreteerd als een getal in een geordend continuüm, dat de reële getallen bevat.

Twee dimensies

Een cartesisch coördinatenstelsel in twee dimensies heeft twee assen, vaak x-as en y-as genoemd, die loodrecht op elkaar staan. De punten in zo'n assenstelsel vormen een vlak, het xy-vlak. De assen worden bij het tekenen meestal horizontaal en verticaal gekozen, met de positieve x-richting naar rechts en de positieve y-richting naar boven.

Het punt waar de twee assen elkaar snijden wordt de oorsprong genoemd, aangegeven met O. Op beide assen is de eenheid van lengte gelijk.
Een specifiek punt in het cartesisch vlak wordt aangegeven door het coördinatenpaar (x,y), gevormd door de coördinaten x en y van het punt die de gerichte afstanden van het punt tot de beide assen voorstellen. Voorbeeld: het punt (5,2) in de afbeelding hieronder.

De pijlen op de assen geven aan dat ze oneindig lang zijn in die richting. De twee assen definiëren samen vier kwadranten, aangegeven met de Romeinse cijfers I, II, III en IV. De kwadranten worden tegen de klok in benoemd beginnend bij het kwadrant rechtsboven. In onderstaande tabel staan de waarden op de x- en y-as voor de kwadranten.

Drie dimensies

Vroeg in de 19e eeuw is het stelsel uitgebreid naar drie dimensies. Hiervoor is er een nieuwe as geïntroduceerd, de z-as.

Een punt in een driedimensionale ruimte wordt aangegeven met (x,y,z). Een voorbeeld van een driedimensionaal cartesisch coördinatenstelsel is in de hier onderstaande afbeelding te zien. In de afbeelding staat het punt (2,3,4) afgebeeld.

Oriëntatie

In drie dimensies zijn er (los van rotatie van het geheel) twee manieren om de drie assen onderling loodrecht op elkaar te zetten, via het linkshandig coördinatenstelsel en het rechtshandig coördinatenstelsel. De afbeelding hierboven is een rechtshandig coördinatenstelsel. Dit kun je als volgt controleren. Houd de vier vingers van de rechterhand denkbeeldig vanuit de oorsprong gezien in de richting van de positieve x-as. Draai nu de vier vingers richting de positieve y-as. Als tijdens deze handeling de duim in de richting van de positieve z-as wijst, dan hebben we te maken met een rechtshandig systeem. Men kan het ook als volgt uitleggen: als men de duim, wijsvinger en middenvinger, van de rechterhand, in die volgorde langs de x-, y- en z-as kan leggen, heeft men een rechtshandig assenstelsel.

Houding van de rechterhand voor een rechtshandig assenstelsel

Rechtshandig:

Linkshandig:

Wanneer de z-as naar boven wijst, wordt het soms een wereldcoördinatenstelsel genoemd, zoals in bovenstaande afbeelding. Het belangrijkste is echter in welke richting de assen met hun positieve kant wijzen ten opzichte van elkaar. Het spiegelbeeld van een rechtshandig systeem is een linkshandig systeem.

Het linkshandig systeem wordt ook gebruikt, zij het minder dan het rechtshandig systeem.

Transformatie

Een cartesisch coördinatenstelsel kan worden getransformeerd in een ander coördinatenstelsel dat al of niet ook een cartesisch coördinatenstelsel is. Hierbij veranderen de coördinaten van de punten in het assenstelsel. Bijzondere gevallen zijn de transformaties die een lineaire transformatie en/of een isometrie zijn.

Referenties

• Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.

Zie ook

• Gegeneraliseerde coördinaten


• Poolcoördinaten


• Logaritmische schaal


• Euclidische ruimte


• Hilbertruimte

Zie de categorie Coordinate systems van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.