Ndtyhij

Doorsnede van verzameling A{displaystyle A} en B{displaystyle B} (overlapping van de twee cirkels)

In de verzamelingenleer is de doorsnede, of intersectie van een aantal verzamelingen de verzameling die bestaat uit de gemeenschappelijke elementen van de samenstellende verzamelingen. De doorsnede van de verzamelingen A{displaystyle A} en B{displaystyle B} wordt genoteerd als A∩B{displaystyle Acap B}.

Als twee verzamelingen een lege doorsnede hebben, noemt men ze disjunct. Als ze een niet-lege doorsnede hebben, wordt soms gezegd dat ze elkaar snijden.

Definitie

De doorsnede A∩B{displaystyle Acap B} van de verzamelingen A{displaystyle A} en B{displaystyle B} is de verzameling die bestaat uit de elementen die zowel tot A{displaystyle A} als tot B{displaystyle B} behoren:

A∩B={x∣x∈A en x∈B}{displaystyle Acap B={xmid xin A{text{ en }}xin B}}

Voorbeelden

De doorsnede van de verzamelingen {1, 2, 3} en {2, 3, 4} is de verzameling {2, 3}.

Het getal 9 is geen element van de doorsnede van de verzameling priemgetallen {2, 3, 5, 7, 11, ...} en de verzameling oneven getallen {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

Generalisatie

Door recursie kan ook de doorsnede van eindig veel verzamelingen gedefinieerd worden. De doorsnede van A,B,C{displaystyle A,B,C} en D,{displaystyle D,} bijvoorbeeld, is

A∩B∩C∩D=A∩(B∩(C∩D)){displaystyle Acap Bcap Ccap D=Acap (Bcap (Ccap D))}

Meer algemeen bestaat de doorsnede van willekeurig veel verzamelingen uit die elementen die in elk van deze verzamelingen zitten.

Eigenschappen

Doorsnede is een associatieve en commutatieve operatie;, dus:

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C=A∩B∩C{displaystyle Acap (Bcap C)=(Acap B)cap C=Acap Bcap C}

en

A∩B=B∩A{displaystyle Acap B=Bcap A}

Zie ook

• Vereniging (verzamelingenleer)


• Verschil (verzamelingenleer)

Zie de categorie Intersection (set theory) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.